Основные понятия модели курно

Волкова Н.А., Буравкина О. В.

В модели Курно достаточно хорошо можно интерпретировать вопросы сотрудничества между двумя фирмами или организации специального режима работы фирм одного товара.

В случае совершенной конкуренции, когда участников рынка много, цены на рынке не зависят от действий отдельных его участников. Рассмотрим противоположную ситуацию, где участников рынка немного, а цены напрямую зависят от стратегий, применяемых его участниками.

Рассмотрим классическую модель сотрудничества и конкуренции фирм на рынке одного товара, впервые предложенную еще в 1838г.

Начала классической модели. Условия работы двух фирм на рынке одного товара. Рассмотрим две фирмы , выпускающие один и тот же товар. Пусть полные затраты-й фирмы при выпускеравны(– себестоимость выпуска одной единицы товара). Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар на этом рынке линейно падает в зависимости от поступающего на рынок общего его количества, т.е.. Такое поведение цены обеспечивает полную распродажу всего поступившего на рынок товара.

Производство работает циклами, и эти циклы у обеих фирм совпадают. Для упрощения будем далее полагать, что , а длительность цикла равна единице времени. Параметр– размер рынка, так как суммарный выпуск фирм должен быть меньше, иначе прибыль будет неположительной.

Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать свою прибыль, получаемую за цикл (за единицу времени). Следовательно, прибыль -й фирмы за цикл (выручка минус затраты на производство):

где .

Пример. Проследим детально несколько циклов работы фирм, взяв для определенности какие-нибудь значения параметров, например, . Тем самым.

Получилась следующая таблица

Прокомментируем данную таблицу. Вначале, с ростом выпуска прибыли обеих фирм растут, но когда выпуски стали большие, на рынок стало поступать много товара, цена на него упала и формально стала даже отрицательной – см. 5-ый цикл. Содержательно, это означает, что такой большой объем товара выпускать нецелесообразно. Отсюда следует 1-ый подсказанный вывод: фирмы должны работать с оглядкой друг на друга – в своей работе они должны учитывать работу другой фирмы, т.е. фирмы должны сотрудничать.

Но откуда такое описание работы рынка? Работающие в экономической теории привыкли к равновесным рынкам. Напомним, что состояние рынка называется равновесным, если спрос равен предложению. На рассматриваемом рынке в модели Курно предложение есть суммарный выпуск товара, обычно обозначаемый. Спрос же есть обычно убывающая функция цены. Обратная зависимость цены от спроса – также убывающая функция. Ну, а в равновесном состоянии рынка.

Таким образом, равновесная цена есть функция . Она получается убывающей линейной функцией общего выпуска фирмы

где – падение цены при увеличении на единицу общего выпуска.

Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпуска . Тогда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации своей прибыли:

,

т.е.

. (1)

Аналогично бы действовала вторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в объеме

. (2)

При выводе этих формул можно обойтись без производной – ведь функция

при известном и фиксированном есть квадратичная функция от:

.

Т.е. ее график – это парабола, ветви которой направлены вниз, а корни есть 0 и .

Значит максимум этой функции расположен посередине между корнями – в точке

.

Таков же вывод и 2-ой формулы.

Стратегия Курно. Определим в связи с этими формулами оператор Курно:

.

Этот оператор определен на двумерных векторах.

Один из важных вопросов – это вопрос о неподвижной точке этого оператора. В классической модели такая точка существует.

Предложение 1. В классической модели (для двух взаимодействующих фирм) оператор Курно имеет неподвижную точку .

Проверим, что – это неподвижная точка оператора Курно:

Предложение 2. Последовательность точек сходится к неподвижной точкенезависимо от начальной точки.

Доказательство. Пусть для любого, тогда

,

т.е. каждая следующая итерация оператора Курно приближает точку к неподвижной точке .

Точка равновесия Курно может быть представлена как результат следующего сходящегося алгоритма: пусть первая фирма выбирает какой-либо выпуск , тогда вторая фир­ма действует так, как если бы первая все время выбирала, т.е. Обе фирмы действуют аналогично (l – номер шага итерационной процедуры). Сходимость такой процедуры к точке (K – верхний индекс (Курно)) видна на рис. 1. На нем изображены прямые реакции фирм , каждая из которых представляет собой геометрическое место точек оптимального выпуска одной фирмы при заданном фиксированном выпуске другой фирмы. Точка называется точкой равновесия Курно. Ее координаты _.Траектория движения к этой точке на рис. 1 показана стрелками, т.е. имеет место монотонная сходимость к точке равновесия.

х₂

Рис. 1. Равновесие Курно

При этом общий выпуск продукции , прибыли обеих фирм, , и цена про­дукции .