§1. Теоремы н.И. Лобачевского и новая теорема

Имеет место

Теорема 1. (Н.И. Лобачевский). Если функция f(x) удовлетворяет условиям

(1.1)

и если существует интеграл

то

(1.2)

Доказательство. Представим интеграл в виде суммы ряда

Пусть . Положивилии прибегнув, соответственно, к подстановкеили, в силу (1.1), будем иметь:

Отсюда

Так как ряд

В промежутке сходится равномерно, ибо мажорируется сходящимся рядом

то его можно интегрировать почленно.

Следовательно,

Но выражение в квадратных скобках есть разложение на простые дроби функции .

Таким образом, окончательно имеем

что и требовалось доказать для случая .

Пусть теперь . Поступая точно так же, как для случая, получаем

откуда замечая, что

находим

Теорема доказана.

Замечание 1. Определим сумму ряда

т.е. докажем, что

Функцию можно представить в виде:

Последний ряд удовлетворяет всем требованиям формулы суммирования Плана [2].

Имеем

Замечая, что для любого конечного (см. ниже (2.2)):

и

Окончательно, находим

что и требовалось доказать.

Теорема 2. (Н.И. Лобачевский). Если функция f(x) удовлетворяет условиям

(1.3)

(условия непрерывности функции в точках, где

и если существует интеграл, то

(1.4)

Доказательство. Поступая точно так же, как при доказательстве теоремы 1 (Н.И. Лобачевский), получаем

Отсюда, замечая, что

приходим к (1.4). Доказательство закончено.

Теорема 3. Если функция удовлетворяет условиям теоремы 2 (Н.И. Лобачевский) и если существует интеграл

то

(1.5)

Доказательство. Поступая точно так же, как при доказательстве теоремы 1 (Н.И.Лобачевский), в силу (1.3) получаем

Отсюда, замечая, что

приходим к утверждению теоремы 3 (1.5).