logo
09_Mathem-UMK-ForLang_CO

VI. Приложение. Вариант дидактического теста рубежного контроля

№

Условия задач

Краткие решения задач

с, о

к

и, м

п

ь

а

р, т

А

В

C

А

№ 1

Пусть R – множество букв современного русского алфавита, A – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово аксиома, B – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово скорость, C — подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово паспорт.

Задать способом перечисления следующие множества и найти количество их элементов: а) A B б) B C в) C \ A г) A B C

A  B = а,к,с,и,о,м,р,т,ь m(AB) = 9

B  C = с,о,р,т m(BC) = 4

C \ A = п,р,т m(C\B) = 3

A  B  C = с,о m(ABC) = 2

А

В

№ 2

Исследуется текст из 80 предложений. В каждом из 80 предложений имеется либо местоимение «я», либо местоимение «ты», либо оба местоимения. Всего в тексте встретилось 50 местоимений «я», и 40 местоимений «ты». Сколько предложений содержат и местоимение «я» и местоимение «ты»?

m(AB) = m(A)+m(B)–m(AB) = 50+40–80 = 10

№ 3

Будем называть «словом» любую последовательность букв от пробела до пробела. а) Сколько двухбуквенных «слов» можно составить из 5 различных букв русского алфавита? б) Сколько трёхбуквенных «слов» можно составить, используя 6 кубиков с различными буквами (на всех гранях кубика буква одна и та же)?

а) Ã = 52 = 25

б) А = 6!/3!= 4 * 5 * 6 = 120

№ 4

Перестановки букв некоторого слова называют его анаграммами. Сколько анаграмм у слова абракадабра?

а — 5 к — 1 б — 2 д — 1 р — 2

= 11! / (5!*2!*2!) = 6*7*8*9*10*11 / (2*2)=83 160

№ 5

Из урны, в которой находятся 5 красных, 3 зелёных, 2 чёрных и 5 белых шаров, наудачу вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется а) красным? б) жёлтым? в) не синим?

а) P(«красный») = 5/15=1/3

б) P(«жёлтый») = 0/15 = 0

в) P(«не синий») = 15/15 = 1

№ 6

3 буквы разрезной азбуки К, Т, О собирают в произвольном порядке (полученную таким образом последовательность букв назовём «словом»). Какова вероятность того, что это «слово»: а) является словом «КОТ»? б) начинается с гласной буквы? в) начинается с согласной буквы?

а) P(«кот») = 1/3!=1/6

б) P(«начинается с Глас») = 1*2!/3!=2/6 = 1/3

в) P(«начинается с Согл») = 2*2!/3!=4/5 = 2/3

№ 7

Для сдачи зачёта по математике студенту необходимо ответить на 2 вопроса из 15. Студент подготовил ответы на 12 вопросов. Какова вероятность успешной сдачи зачёта?

P(«сдал») = С / С = (12!/10!*2!) / (15!/13!*2!) = (12!*13!*2!) / (10!*2!*15!) = 11*12 / 14*15 = 22/35

№ 8

Назовём игральной костью кубик из однородного материала с гранями, занумерованными цифрами от 1 до 6. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что а) сумма очков, выпавших на 2 костях, окажется равной 4? б) на обеих костях выпадут чётные числа очков?

4 =

1+3 3+1 2+2

а) P(«Σ = 4») = 3/36 = 1/12

б) P(«чётные») = 9/36 = 1/4

№ 9

Из мешочка, в котором находятся 7 кубиков с гласными буквами и 4 кубика с согласными (на всех гранях кубика буква одна и та же), один за другим извлекаются два кубика (кубики в мешочек не возвращаются). Какова вероятность того, что второй кубик:

а) окажется с гласной буквой, если первый кубик был с гласной буквой? б) окажется с гласной буквой, если первый кубик был с согласн буквой?

а) P(«2-я Гл / 1-я Гл») = 6/10 = 3/5

б) P(«2-я Гл / 1-я Согл») = 7/10

Слова

без повторений букв

с повторениями букв

2-буквенные

А = 5!/3! = 4*5 = 20

à = 52 = 25

4-буквенные

А = 5!/1! = 2*3*4*5=120

à = 54 = 625

Итого слов

140

650

P (4-буквен.)

= 120 / 140 = 6/7

= 625 / 650 = 25/26

№ 10

Алфавит племени Мумбу-Юмбу содержит 5 букв, «слова» (любая последовательность букв) могут состоять из 2 или 4 букв. Какова вероятность того, что взятое наугад слово из полного словаря племени будет четырёхбуквенным, если

а) в любом слове каждая из 5 букв используется не более одного раза? б) в словах допускаются повторения каждой буквы любое возможное количество раз?

1-ый

2-ой

а) П1П2

0,7 * 0,9 = 0,63

Попал

0,7

0,9

б) Н1Н2

0,3 * 0,1 = 0,03

Не попал

0,3

0,1

в) П1Н2 + Н1П2

0,7 * 0,1 + 0,3 * 0,9 = 0,34

г)П1П2+П1Н2+Н1П2

0,7*0,9+0,7*0,1+0,3*0,9=0,97

№ 11

Двое стрелков по разу стреляют в мишень. Вероятность попадания при выстреле для первого стрелка равна 0.7, а для второго 0.9. Найти вероятность

а) двух попаданий в) только одного попадания

б) ни одного попадания г) хотя бы одного попадания

С =36! / (30!* 6!) = 31*8*33*34*7 = 1 947 792; С =32! / (28!* 4!) = 29*10*31*4 = 35 960

а

P («трефы») = С / С = 84 / 1 947 792 = 1 / 23 188 (≈0,000043)

б

P («один цвет») = 2*С / С = 2*18 564 / 1 947 792 = 13 / 682

в

P («4 туза») = (С *С ) / С = 31*16 / 1 947 792=1/3 927 (≈0,00025)

г

P («точно 2 дамы») = (С *С ) / С = 6*35960/1947792 = 145/1 309

№ 12

Колода карт содержит 36 различных карт (9 карт пиковой масти, 9 трефовой, 9 бубновой и 9 червовой). Сдача карт одному игроку состоит из 6 карт, порядок которых не важен. Какова вероятность того, что:

а) в сдаче все карты будут трефовой масти?

б) в сдаче все карты будут одного цвета?

в) в сдаче будет 4 туза?

г) в сдаче будет точно 2 дамы?